Để chứng minh rằng biểu thức \( x^2 + 2(x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+3)^2 \) có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Mở rộng các biểu thức bình phương.
2. Thu gọn các biểu thức.
3. Tìm cách viết lại biểu thức dưới dạng tổng của hai bình phương.

Bắt đầu với việc mở rộng các biểu thức:

\[ x^2 + 2(x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+3)^2 \]

Mở rộng từng biểu thức bình phương:

\[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[ x^2 + 2(x^2 + 2x + 1) + 3(x^2 + 2x + 1) + 4(x^2 + 6x + 9) \]

Tiếp tục mở rộng:

\[ x^2 + 2(x^2 + 2x + 1) + 3(x^2 + 2x + 1) + 4(x^2 + 6x + 9) \]
\[ = x^2 + 2x^2 + 4x + 2 + 3x^2 + 6x + 3 + 4x^2 + 24x + 36 \]

Thu gọn các hạng tử:

\[ = x^2 + 2x^2 + 3x^2 + 4x^2 + 4x + 6x + 24x + 2 + 3 + 36 \]
\[ = 10x^2 + 34x + 41 \]

Bây giờ, ta cần viết biểu thức này dưới dạng tổng của hai bình phương. Ta có thể thử biểu thức dạng:

\[ (ax + b)^2 + (cx + d)^2 \]

Giả sử:

\[ (ax + b)^2 + (cx + d)^2 = 10x^2 + 34x + 41 \]

Mở rộng biểu thức bên trái:

\[ (ax + b)^2 + (cx + d)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 + c^2x^2 + 2cdx + d^2 \]
\[ = (a^2 + c^2)x^2 + (2ab + 2cd)x + (b^2 + d^2) \]

So sánh với biểu thức đã thu gọn:

\[ a^2 + c^2 = 10 \]
\[ 2ab + 2cd = 34 \]
\[ b^2 + d^2 = 41 \]

Giải hệ phương trình này để tìm các giá trị của \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\).

Một cách đơn giản là chọn \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 1\), và \(d = 4\):

\[ 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 \]
\[ 2(3)(5) + 2(1)(4) = 30 + 4 = 34 \]
\[ 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41 \]

Vậy, biểu thức có thể viết lại dưới dạng:

\[ (3x + 5)^2 + (x + 4)^2 \]

Do đó, ta đã chứng minh rằng biểu thức \( x^2 + 2(x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+3)^2 \) có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức \( (3x + 5)^2 + (x + 4)^2 \).