Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó tìm nghiệm chung của chúng.

1. Phương trình đầu tiên: \( x^2 = 9 \)
\[
x = \pm 3
\]

2. Phương trình thứ hai: \( x^7 = 1 \)
\[
x \text{ là một nghiệm của phương trình } x^7 - 1 = 0
\]
Phương trình này có 7 nghiệm phức, bao gồm các nghiệm đơn vị bậc 7:
\[
x = e^{2k\pi i / 7} \quad \text{với } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
\]
Trong đó, \( e^{2k\pi i / 7} \) là các nghiệm phức của phương trình \( x^7 = 1 \).

3. Phương trình thứ ba: \( x^{60} = x \)
\[
x^{60} - x = 0 \implies x(x^{59} - 1) = 0
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^{59} = 1
\]
Nếu \( x^{59} = 1 \), thì \( x \) là một nghiệm đơn vị bậc 59:
\[
x = e^{2k\pi i / 59} \quad \text{với } k = 0, 1, 2, \ldots, 58
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm nghiệm chung của cả ba phương trình.

- Từ phương trình đầu tiên, \( x = \pm 3 \).
- Từ phương trình thứ hai, \( x \) là một nghiệm đơn vị bậc 7.
- Từ phương trình thứ ba, \( x \) là một nghiệm đơn vị bậc 59 hoặc \( x = 0 \).

Rõ ràng, \( x = \pm 3 \) không phải là nghiệm đơn vị bậc 7 và cũng không phải là nghiệm đơn vị bậc 59. Do đó, \( x = \pm 3 \) không thỏa mãn cả ba phương trình.

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra các nghiệm đơn vị bậc 7:
- Các nghiệm đơn vị bậc 7 là \( e^{2k\pi i / 7} \) với \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).

Chúng ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn phương trình thứ ba hay không:
- Nếu \( x = e^{2k\pi i / 7} \), thì \( x^{59} = (e^{2k\pi i / 7})^{59} = e^{118k\pi i / 7} = e^{16k\pi i} = (e^{2\pi i})^{8k} = 1 \).

Do đó, các nghiệm đơn vị bậc 7 thỏa mãn phương trình thứ ba.

Vậy, nghiệm chung của hệ phương trình là các nghiệm đơn vị bậc 7:
\[
x = e^{2k\pi i / 7} \quad \text{với } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
\]