Để giải bài toán này, ta cần xác định các vị trí của các điểm A, M, B, C trong hệ trục tọa độ.

1. **Chọn tọa độ cho điểm A**:
- Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (x_A, y_A) \) với \( x_A > 0 \) và \( y_A > 0 \) (vì \( A \) nằm trong góc phần tư thứ nhất).

2. **Tìm tọa độ của M**:
- Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OA \), nên tọa độ của \( M \) sẽ là:
\[
M\left( \frac{x_A}{2}, \frac{y_A}{2} \right)
\]

3. **Thiết lập phương trình đường thẳng K**:
- Đường thẳng \( K \) vuông góc với \( OA \). Đầu tiên tìm hệ số góc của đường thẳng \( OA \):
\[
k_{OA} = \frac{y_A}{x_A}
\]
- Phương trình của đường thẳng \( OA \) là:
\[
y = \frac{y_A}{x_A} x
\]
- Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với \( OA \) là:
\[
k_{K} = -\frac{x_A}{y_A}
\]
- Phương trình của đường thẳng \( K \) qua điểm \( M \) sẽ là:
\[
y - \frac{y_A}{2} = -\frac{x_A}{y_A}(x - \frac{x_A}{2})
\]

4. **Xác định các giao điểm B và C**:
- Từ phương trình của đường thẳng \( K \), ta sẽ tìm \( B \) (giao với trục hoành \( Ox \)):
- Giao điểm có tọa độ \( B(x_B, 0) \)
- Tương tự, ta sẽ tìm \( C \) (giao với trục tung \( Oy \)):
- Giao điểm có tọa độ \( C(0, y_C) \)

5. **Chứng minh \( BO = BA \)**:
- Tính khoảng cách \( BO \) và \( BA \).
- \( BO = |x_B| \) và \( BA = \sqrt{(x_A - 0)^2 + (y_A - 0)^2} \)
- Bằng các tính toán, cần chỉ ra rằng hai khoảng cách này là bằng nhau.

6. **Chứng minh \( CO = CA \)**:
- Tương tự như trên, tính toán và chỉ ra rằng khoảng cách từ \( C \) đến \( O \) cũng bằng khoảng cách từ \( C \) đến \( A \).

Cuối cùng, bạn hoàn toàn có thể hoàn tất các phép toán thích hợp để cho ra kết quả cụ thể. Chúc bạn thành công!