Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[ \frac{3}{x} + \frac{1}{3} = \frac{y}{3} \]

Trước tiên, ta nhân cả hai vế của phương trình với 3 để loại bỏ mẫu số:

\[ 3 \cdot \frac{3}{x} + 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{y}{3} \]

Điều này dẫn đến:

\[ \frac{9}{x} + 1 = y \]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[ y = \frac{9}{x} + 1 \]

Vì \( y \) là số nguyên, nên \( \frac{9}{x} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x \) phải là một ước của 9. Các ước của 9 là: \( \pm 1, \pm 3, \pm 9 \).

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( x \):

1. Nếu \( x = 1 \):

\[ y = \frac{9}{1} + 1 = 9 + 1 = 10 \]

2. Nếu \( x = -1 \):

\[ y = \frac{9}{-1} + 1 = -9 + 1 = -8 \]

3. Nếu \( x = 3 \):

\[ y = \frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4 \]

4. Nếu \( x = -3 \):

\[ y = \frac{9}{-3} + 1 = -3 + 1 = -2 \]

5. Nếu \( x = 9 \):

\[ y = \frac{9}{9} + 1 = 1 + 1 = 2 \]

6. Nếu \( x = -9 \):

\[ y = \frac{9}{-9} + 1 = -1 + 1 = 0 \]

Vậy các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình đã cho là:

\[ (1, 10), (-1, -8), (3, 4), (-3, -2), (9, 2), (-9, 0) \]