Để giải bất phương trình \( 4165 + 92x - 9x^2 \geq 4165 \), ta thực hiện các bước sau:

1. Trừ 4165 từ cả hai vế của bất phương trình:
\[
4165 + 92x - 9x^2 - 4165 \geq 4165 - 4165
\]
Điều này đơn giản hóa thành:
\[
92x - 9x^2 \geq 0
\]

2. Đưa bất phương trình về dạng chuẩn:
\[
-9x^2 + 92x \geq 0
\]

3. Để giải bất phương trình này, ta phân tích nó thành tích của các nhân tử:
\[
x(-9x + 92) \geq 0
\]

4. Xét các nghiệm của phương trình \( x(-9x + 92) = 0 \):
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad -9x + 92 = 0
\]
Giải phương trình \( -9x + 92 = 0 \):
\[
-9x = -92
\]
\[
x = \frac{92}{9}
\]

5. Ta có các nghiệm \( x = 0 \) và \( x = \frac{92}{9} \). Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức \( x(-9x + 92) \) trên các khoảng:
- \( x < 0 \)
- \( 0 \leq x \leq \frac{92}{9} \)
- \( x > \frac{92}{9} \)

6. Xét dấu của biểu thức trên các khoảng:
- Khi \( x < 0 \): \( x \) âm và \( -9x + 92 \) dương, nên tích \( x(-9x + 92) \) âm.
- Khi \( 0 \leq x \leq \frac{92}{9} \): \( x \) dương và \( -9x + 92 \) dương, nên tích \( x(-9x + 92) \) dương.
- Khi \( x > \frac{92}{9} \): \( x \) dương và \( -9x + 92 \) âm, nên tích \( x(-9x + 92) \) âm.

7. Kết luận:
\[
92x - 9x^2 \geq 0 \quad \text{khi} \quad 0 \leq x \leq \frac{92}{9}
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
0 \leq x \leq \frac{92}{9}
\]