Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tỉ lệ và tính chất của tam giác.

### a. Tính chỉ số giữa diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác BOC

1. **Xác định tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Gọi \( EB = x \), thì \( AE = \frac{3}{2}EB = \frac{3}{2}x \).
- Vậy tổng chiều dài \( AB = AE + EB = \frac{3}{2}x + x = \frac{5}{2}x \).
- Từ đó, ta có tỉ lệ \( \frac{AE}{AB} = \frac{\frac{3}{2}x}{\frac{5}{2}x} = \frac{3}{5} \) và \( \frac{EB}{AB} = \frac{x}{\frac{5}{2}x} = \frac{2}{5} \).

2. **Tính diện tích**:
- Diện tích của tam giác AOB và BOC có cùng chiều cao từ điểm O xuống cạnh AB.
- Tỉ lệ diện tích của hai tam giác này sẽ tỉ lệ với độ dài của cạnh đáy tương ứng, tức là tỉ lệ với \( AE \) và \( EB \).
- Do đó, ta có:
\[
\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AE}{EB} = \frac{\frac{3}{2}x}{x} = \frac{3}{2}
\]

### b. Cho CE bằng 21 cm, tính độ dài OC

1. **Tính tỉ lệ OC**:
- Gọi \( OC = y \). Từ tỉ lệ diện tích đã tính ở phần a, ta biết rằng:
\[
\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{3}{2}
\]
- Gọi \( S_{AOB} = 3k \) và \( S_{BOC} = 2k \) cho một số \( k \).
- Tổng diện tích tam giác ABC là \( S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} = 3k + 2k = 5k \).

2. **Tính độ dài OC**:
- Theo tỉ lệ diện tích, ta có:
\[
\frac{OC}{CE} = \frac{S_{BOC}}{S_{ABC}} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5}
\]
- Từ đó, ta có:
\[
OC = \frac{2}{5} \cdot CE = \frac{2}{5} \cdot 21 = \frac{42}{5} = 8.4 \text{ cm}
\]

### Kết luận:
- a. Chỉ số giữa diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác BOC là \( \frac{3}{2} \).
- b. Độ dài OC là \( 8.4 \) cm.