Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 3} - \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 3} \right) \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right)
\]

**Bước 1:** Rút gọn phần đầu của biểu thức:

\[
\frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 3} - \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 3}
\]

Tìm mẫu chung và thực hiện phép trừ.

**Bước 2:** Tính toán mẫu chung:

\[
M = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3) = a - 9
\]

Vì vậy, biểu thức sẽ trở thành:

\[
A = \frac{(\sqrt{a} + 3)^2 - (\sqrt{a} - 3)^2}{a - 9}
\]

Sử dụng công thức hiệu của bình phương:

\[
(\sqrt{a} + 3)^2 - (\sqrt{a} - 3)^2 = (2\sqrt{a})(6) = 12\sqrt{a}
\]

Vậy biểu thức đầu tiên là:

\[
\frac{12\sqrt{a}}{a - 9}
\]

**Bước 3:** Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{12\sqrt{a}}{a - 9} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right)
\]

### b) Tìm \( a \) để \( A \) nhận giá trị nguyên

Giả sử biểu thức trong dấu ngoặc là \( B \):

\[
B = \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 3}{3\sqrt{a}}
\]

Vậy \( A \) trở thành:

\[
A = \frac{12\sqrt{a}}{a - 9} \cdot \frac{\sqrt{a} - 3}{3\sqrt{a}} = \frac{4(\sqrt{a} - 3)}{a - 9}
\]

Để \( A \) là nguyên, \( 4(\sqrt{a} - 3) \) cần chia hết cho \( a - 9 \).

Khi \( a = 9 \), sẽ không xác định được. Cho các giá trị khác của \( a \) là số dương và khác 9, chúng ta thử nghiệm một số giá trị:

1. **\( a = 16 \)**: \( \sqrt{16} = 4 \), \( A = \frac{4(4 - 3)}{16 - 9} = \frac{4 \cdot 1}{7} \) → không nguyên.
2. **\( a = 36 \)**: \( \sqrt{36} = 6 \), \( A = \frac{4(6 - 3)}{36 - 9} = \frac{4 \cdot 3}{27} \) → không nguyên.
3. **\( a = 25 \)**: \( \sqrt{25} = 5 \), \( A = \frac{4(5 - 3)}{25 - 9} = \frac{4 \cdot 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \) → không nguyên.

Tiếp tục thử hoặc đặt \( k \) là nguyên, sau đó giải phương trình để xác định \( a \).

Cuối cùng, bạn sẽ tìm được các giá trị nào của \( a \) làm cho \( A \) nguyên.