Để chứng minh và tính toán các giá trị liên quan đến tam giác ABC với điều kiện đã cho, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh Δ CED ~ Δ CAB

1. **Giả sử rằng** tam giác ABC vuông tại A, tức là \( \angle BAC = 90^\circ \), \( AB = 9 \, \text{cm} \), và \( AC = 12 \, \text{cm} \).

2. **Tam giác phân giác góc BAC:**
Gọi \( D \) là điểm ở trên \( BC \) sao cho \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).

3. **Kẻ đường thẳng vuông góc từ D lên \( AC \), gặp \( AC \) tại \( E \):**
Do \( DE \perp AC \), ta có \( \angle EDC = 90^\circ \) và \( \angle CAB = 90^\circ \).

4. **Xét hai tam giác \( CED \) và \( CAB \):**
- \( \angle EDC = \angle BAC = 90^\circ \).
- \( \angle ECD = \angle ACB \) (Hai góc này cùng là góc phụ với \( \angle DCE \) và \( \angle ABD \)).

=> Tam giác \( CED \) và \( CAB \) có hai góc bằng nhau nên theo định lý đồng dạng AA, ta có \( \Delta CED \sim \Delta CAB \).

### b) Tính tỷ số \( \frac{CD}{DE} \)

1. **Dùng định lý đường phân giác:**
Do \( D \) là điểm chia \( BC \) theo tỷ số \( \frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} \).

Biết rằng tam giác đã được chứng minh là đồng dạng, áp dụng tỷ số tương ứng từ tam giác:
\[ \frac{CE}{AC} = \frac{DC}{BC} = \frac{4}{9 + 12} = \frac{4}{21} \]
mà lại không cần thiết tính thẳng vấn đề này mà chúng yêu cầu là do tương tự với tỷ số tam giác lớn và nhỏ.

=> Tỷ số \( \frac{CD}{DE} = \frac{5}{3} \).

### c) Tính diện tích tam giác ABD

1. **Chu vi tam giác:**
Gọi chiều dài cạnh \( BC \) theo định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}
\]

2. **Sử dụng công thức diện tích tam giác với đường cao từ A lên BC:**
Đây là diện tích toàn phần:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \, \text{cm}^2
\]

3. **Áp dụng diện tích tam giác nhỏ ABD:**
Với tỷ lệ diện tích đồng dạng, ta biết rằng diện tích ABD do điểm phân chia theo phân giác ta sẽ tính tỷ lý dễ hơn:
\[
S_{ABD} = S_{\frac{ABK,ACK,ADC}} = \frac{tỷ_số_{phân_giác tương_ứng}}
\approx \text{calculate entered not presented above}
\]


Những kết quả toán cần thêm Ùng sẵn có chỉ cần triển khai là tỷ lệ và kết quả chính tỷ lệ phù từ trên cho tam giác cụ thể do từ đường phân giác, tuỳ thuộc:
### **Liên tục tham khảo giúp hỗ trợ**