Cho hệ phương trình

Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx + 2y = 1 \\
2x - 4y = -3
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \).

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình, ta có:

\[
\begin{cases}
x + 2y = 1 \\
2x - 4y = -3
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên theo \( x \):

\[
x = 1 - 2y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
2(1 - 2y) - 4y = -3
\]

Giải phương trình này:

\[
2 - 4y - 4y = -3 \\
2 - 8y = -3 \\
-8y = -5 \\
y = \frac{5}{8}
\]

Lập lại giá trị của \( y \) vào phương trình đầu tiên để tìm \( x \):

\[
x + 2 \times \frac{5}{8} = 1 \\
x + \frac{10}{8} = 1 \\
x = 1 - \frac{10}{8} = 1 - \frac{5}{4} = \frac{-1}{4}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là:

\[
\left( x, y \right) = \left( -\frac{1}{4}, \frac{5}{8} \right)
\]

### b) Tìm tất cả giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác không. Đặt ma trận hệ số là:

\[
A = \begin{pmatrix}
m & 2 \\
2 & -4
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\text{det}(A) = (m)(-4) - (2)(2) = -4m - 4
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
-4m - 4 \neq 0 \\
-4m \neq 4 \\
m \neq -1
\]

Vậy, tất cả giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( m \neq -1 \).