Để tính độ dài các đoạn và giá trị cos HBM trong tam giác ABC với các cạnh đã cho, chúng ta sẽ bắt đầu từ việc tính toán đường cao AH và độ dài đoạn BH.

1. **Tính diện tích tam giác ABC:**
Ta có độ dài các cạnh AB = 21, AC = 35, BC = 28. Sử dụng công thức Heron để tìm diện tích:

- Tính bán kính (s):
\[
s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{21 + 35 + 28}{2} = 42
\]

- Tính diện tích (S) của tam giác:
\[
S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} = \sqrt{42(42 - 21)(42 - 35)(42 - 28)} = \sqrt{42 \cdot 21 \cdot 7 \cdot 14}
\]
\[
S = \sqrt{42 \cdot 21 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{42 \cdot 21 \cdot 98} = \sqrt{42 \cdot 2058} = 294 \, \text{(sau khi tính toán)}
\]

2. **Tính độ dài AH (đường cao từ A đến BC):**
- Diện tích S cũng có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]
- Thay giá trị vào:
\[
294 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot AH \implies AH = \frac{294 \cdot 2}{28} = 21
\]

3. **Tính độ dài BH:**
Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH để tìm BH. Do đó, đầu tiên, chúng ta cần tính độ dài AB (cạnh huyền):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \implies 21^2 = 21^2 + BH^2 \implies BH^2 = AB^2 - AH^2 = 21^2 - 21^2 = 0 \implies BH = 0
\]
(Do chúng ta không tính đúng sơ đồ, mà AH đã chỉ đúng vào B).

4. **Tính cos HBM:**
Để tính cos HBM, ta cần biết độ dài của đoạn BM hoặc sử dụng các góc có liên quan:
\[
\cos HBM = \frac{BH}{AB}
\]
Nhưng vì BH = 0 như đã tính ở trên, chúng ta cần phương pháp khác để xác định góc:

Chú ý rằng, vì BH = 0, góc HBM sẽ là một góc thẳng và cos HBM = 0.

Kết quả cuối:
- Đường cao AH = 21
- Đoạn BH = 0
- cos HBM = 0

Hy vọng những bước trên đã giúp bạn hiểu rõ cách tính toán!