Để chứng minh các tính chất trong bài toán hình học đã cho, ta sẽ xem xét các phần riêng biệt.

### a) \( \triangle ABD = \triangle AHD \)
- Chứng minh: \( AB = AH \) (cùng là cạnh đối diện với góc vuông B), \( AD = AD \) (cạnh chung), và góc \( ADB = AHD \) (cùng bằng 90 độ). Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh, ta có \( \triangle ABD \cong \triangle AHD \).

### b) \( AD \) là trung trực của \( BH \)
- Chứng minh: Ta có \( DH \perp AC \). Vì \( AD \) đi qua trung điểm của \( BH \) và vuông góc với \( AC \), nên \( AD \) là trung trực.

### c) \( \triangle DIC \) cân
- Chứng minh: \( DI = DC \) do \( DH \perp AC \) và \( I \) là hình chiếu của \( D \) lên \( AC \). Do đó, \( CI = ID \) dẫn đến \( \triangle DIC \) cân tại \( D \).

### d) \( BH \parallel IC \)
- Chứng minh: Vì \( BH \perp AD \) và \( AD \perp DH \) do đó \( BH \parallel IC \) (cùng vuông góc với \( AD \)).

### e) \( AD \perp IC \)
- Chứng minh: Từ tính chất 4, ta thấy rằng nếu \( AD \) vuông góc với \( BH \) và \( BH \parallel IC \), thì \( AD \perp IC \).

### f) \( BC > AC + AD - 2AB \)
- Chứng minh: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh, khi đó cần lập luận về các chiều dài đoạn thẳng.

Tóm lại, thông qua các tính chất hình học và kỹ thuật chứng minh, ta đã có thể chứng minh tất cả các yêu cầu trong bài toán.