Chào bạn! Dưới đây là phần giải chi tiết cho bài toán của bạn:

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

1. Xét tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), với \( M \) là trung điểm của \( BC \).
2. Từ tính chất trung điểm, ta có: \( BM = MC \).
3. Xây dựng hình chiếu vuông góc \( D \) của \( M \) lên \( AB \) và \( E \) của \( M \) lên \( AC \).
4. Do \( MD \perp AB \) nên \( MD \) là chiều cao từ \( M \) xuống \( AB \).
5. Tương tự, \( ME \perp AC \) nên \( ME \) là chiều cao từ \( M \) xuống \( AC \).
6. Trong tam giác vuông \( AMD \) và \( AME \), có \( AM = AM \) và \( MD = ME \) (tính chất chiều cao từ trung điểm).
7. Suy ra \( AM = DE \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành

1. Ta đã chứng minh \( AM = DE \) trong phần a).
2. Do \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), ta có các góc:
- \( \angle MDB = \angle MEB = 90^\circ \)
- Do đó, \( DM \parallel CE \).
3. Từ đó suy ra \( DM = CE \) và \( DC = EM \).
4. Như vậy, tứ giác \( DMCE \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân

1. Gọi \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \) với \( H \) thuộc \( BC \).
2. Xét tứ giác \( DHME \): ta có \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \).
3. Đặt \( DH = HE \) do \( H \) là giao điểm của đường cao với \( BC \).
4. Vì \( D, H' \) là hình chiếu của \( M \) lên các cạnh nên góc \( DMH = EMH \) đều bằng \( 90^\circ \).
5. Suy ra tứ giác \( DHME \) có hai cạnh kề là \( DH \) và \( HE \) bằng nhau, và các góc \( DMH \) và \( EMH \) bằng nhau.
6. Do đó, tứ giác \( DHME \) là hình thang cân.

Chúc bạn học tốt! Nếu bạn có thêm câu hỏi nào khác, hãy cho tôi biết nhé!