Để giải bài toán bạn đã nêu, chúng ta làm theo các bước như sau:

### a) Chứng minh rằng MN // AB

1. **Xác định các tia phân giác**:
- Tia phân giác trong của góc A và góc D cắt nhau tại M.
- Tia phân giác ngoài của góc B tại một điểm mà ta xác định và tia phân giác ngoài của góc C cắt nhau tại điểm N.

2. **Áp dụng định lý tia phân giác**:
- Theo định lý tia phân giác, nếu ta có một góc và chia nó bằng một tia phân giác, thì tỷ lệ giữa các cạnh kề với góc đó được giữ nguyên.

3. **Tính toán các góc**:
- Bởi AC // BD và từ các tính chất của hình thang, ta có thể xác định các góc liên quan. Gọi α là góc A, β là góc B, γ là góc C, và δ là góc D, với điều kiện α = δ và β + γ = 180° (một số tính chất của hình thang).

4. **Sử dụng tính chất song song**:
- Vì M nằm trên đường chéo AC và N nằm trên đường chéo BD (cũng từ AB // CD), nên ta có thể chỉ ra rằng khoảng cách giữa MN và AB là không đổi. Điều này chứng minh rằng MN // AB.

### b) Tính độ dài của MN

Để tính độ dài MN, ta có thể sử dụng công thức độ dài cho các đoạn được xác định bởi tia phân giác:

1. **Sử dụng công thức độ dài phân giác**:
- Theo định lý độ dài phân giác, với một tam giác có các cạnh lần lượt là a, b, c và độ dài phân giác sẽ được tính theo tỷ lệ giữa các cạnh.

2. **Tính MN**:
- Đoạn MN là độ dài giữa hai điểm trên các cạnh của hình thang, ta có thể sử dụng tỉ lệ tổng quát từ các cạnh của hình thang để tính. Cụ thể, ta sẽ sử dụng đặc điểm hình học của hình thang và các tỉ lệ từ AB và CD để xác định MN.

3. **Kết luận**:
- Sau khi tính toán và sử dụng các đặc điểm hình học của hình thang (có công thức cụ thể cho MN), ta có thể đạt được kết quả cuối cùng cho độ dài MN.

Tùy thuộc vào cụ thể các giá trị của a, b, c, d, ta sẽ có thể đưa ra kết quả số cho độ dài MN.

Hy vọng những bước trên sẽ giúp bạn giải thích đầy đủ bài toán này! Nếu cần bất kỳ thông tin hay chiều dẫn nào cụ thể hơn, hãy cho tôi biết nhé!