Để giải phương trình

\[
\sqrt[3]{4x + 4} = \sqrt{3x + 1},
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Dẫn xuất phương trình:** Ta sẽ bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai.

\[
\left(\sqrt[3]{4x + 4}\right)^2 = \left(\sqrt{3x + 1}\right)^2
\]

\[
\sqrt[3]{4x + 4}^2 = 3x + 1
\]

2. **Nhân 2 vế với \(\sqrt[3]{4x + 4}\)** để đưa về dạng đại số:

\[
4x + 4 = (3x + 1) \cdot \sqrt[3]{4x + 4}
\]

3. **Đặt \(y = \sqrt[3]{4x + 4}\), từ đó có:**

\[
y^2 = 3x + 1 \quad \text{và} \quad 4x + 4 = y^3 \implies 4x = y^3 - 4 \implies x = \frac{y^3 - 4}{4}
\]

4. **Thay x vào phương trình \(y^2\):**

\[
y^2 = 3\left(\frac{y^3 - 4}{4}\right) + 1
\]

\[
4y^2 = 3(y^3 - 4) + 4
\]

\[
4y^2 = 3y^3 - 12 + 4
\]

\[
3y^3 - 4y^2 - 8 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc ba:** Áp dụng phương pháp thừa nghiệm hoặc các phương pháp khác để tìm nghiệm của phương trình này.

Giả sử ta thử nghiệm với một vài giá trị:

- \(y = 2\):

\[
3(2^3) - 4(2^2) - 8 = 3(8) - 4(4) - 8 = 24 - 16 - 8 = 0.
\]

Vậy \(y = 2\) là một nghiệm.

6. **Phân tích thành nhân tử:**

Chia \(3y^3 - 4y^2 - 8\) cho \(y - 2\) có thể sử dụng phép chia đa thức, ta có:

\[
3y^3 - 4y^2 - 8 = (y - 2)(3y^2 + 2y + 4)
\]

Phương trình bậc hai \(3y^2 + 2y + 4 = 0\) không có nghiệm thực (discriminant < 0).

7. **Xác định giá trị của x:**

Từ \(y = 2\),

\[
\sqrt[3]{4x + 4} = 2 \implies 4x + 4 = 8 \implies 4x = 4 \implies x = 1.
\]

**Nghiệm của phương trình là:**

\[
x = 1.
\]