Để giải phương trình \((x-2)(y+3) = 5\) với điều kiện \(y \in \mathbb{Z}\) (tức là \(y\) là số nguyên), ta sẽ tìm các giá trị của \(x\) và sau đó tính giá trị tương ứng của \(y\).

Ta có thể viết lại phương trình:

\[
y + 3 = \frac{5}{x - 2}
\]

Từ đó, ta có:

\[
y = \frac{5}{x - 2} - 3
\]

Để \(y\) là số nguyên, \(\frac{5}{x - 2}\) phải là số nguyên, tức là \(x - 2\) phải là một ước số của \(5\). Các ước số của \(5\) là \( \pm 1, \pm 5\).

Từ đó, ta có các trường hợp sau:

1. \(x - 2 = 1\) → \(x = 3\)
\[
y = \frac{5}{1} - 3 = 5 - 3 = 2
\]

2. \(x - 2 = -1\) → \(x = 1\)
\[
y = \frac{5}{-1} - 3 = -5 - 3 = -8
\]

3. \(x - 2 = 5\) → \(x = 7\)
\[
y = \frac{5}{5} - 3 = 1 - 3 = -2
\]

4. \(x - 2 = -5\) → \(x = -3\)
\[
y = \frac{5}{-5} - 3 = -1 - 3 = -4
\]

Từ những tính toán trên, ta có các cặp \((x, y)\) thỏa mãn như sau:

- \((3, 2)\)
- \((1, -8)\)
- \((7, -2)\)
- \((-3, -4)\)

Vậy giá trị của \(y\) có thể là \(2, -8, -2, -4\) khi \(x\ thuộc \mathbb{Z}\).