Để chứng minh các yêu cầu d, e và f của đề bài, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### d) Chứng minh EI // AM.

Giả sử:
- Tia AM là tia phân giác của góc BAC.
- Tia EI vuông góc với BC (EI ⊥ BC).

Ta có tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC.

Từ tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \quad \Rightarrow \quad BM = MC
\]
Điều này có nghĩa là M là trung điểm của đoạn BC.

Khi đó, AM sẽ cắt BC tại điểm M tạo thành hai đoạn bằng nhau. Bây giờ, vì EI ⊥ BC thì góc EIM = 90°.

Từ đó, nếu AM không vuông góc với BC tại M, thì nó cắt nhau ở một góc bất kỳ và EI sẽ tạo với AM một góc 90°, mà điều này mâu thuẫn với điều kiện EI ⊥ BC.

Vì vậy, EI // AM.

### e) Chứng minh góc AEK = góc AKE.

Ta có:
- EI cắt AC tại K (EI ∩ AC = K).
- Do EI // AM, nên góc AEK = góc AEM và góc AKE = góc AAM.

Nhưng AM là tia phân giác của góc BAC, do đó ta biết rằng:
\[
\angle AEM = \angle AKE.
\]

Vì vậy:
\[
\angle AEK = \angle AKE.
\]

### f) Chứng minh A là trung điểm của KF.

Từ yêu cầu e, ta có:
- K là điểm trên AC, do đó AK + KC = AC, và K nằm giữa A và C.

Từ đó, kết hợp với việc góc AKE = góc AEK, ta nhận thấy rằng tam giác AKE và tam giác AKF sẽ là các tam giác cân (vì AB = AC).

Do đó, điểm K chính là trung điểm của đoạn thẳng AF, từ đó suy ra rằng:
\[
AF = KF.
\]

Giả sử F là một điểm trên AC, và vì K là giao điểm của đường EI với AC, nên chúng ta sẽ thấy rằng K là trung điểm của đoạn AF.

Tóm lại, ta có:
\[
A \text{ là trung điểm của } KF.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu d, e, và f theo như đề bài yêu cầu.