Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a)** Tính độ dài đoạn thẳng \( MN \):

- Điểm \( O \) là gốc tọa độ.
- Điểm \( M \) cách \( O \) 3 cm trên tia \( OY \), có tọa độ \( M(0, 3) \).
- Điểm \( N \) cách \( O \) 7 cm trên tia \( OY \), có tọa độ \( N(0, 7) \).

Đoạn thẳng \( MN \) sẽ có độ dài bằng tổng chiều dài từ \( O \) đến \( M \) cộng với chiều dài từ \( M \) đến \( N \):

\[
MN = ON - OM = 7 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 4 \text{ cm}
\]

**b)** Tính độ dài đoạn thẳng \( OK \) và so sánh với \( MN \):

- Gọi \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).
- Tọa độ của \( K \) được tính bằng công thức trung bình:

\[
K\left(0, \frac{3 + 7}{2}\right) = K(0, 5)
\]

- Độ dài đoạn thẳng \( OK \):

\[
OK = 5 \text{ cm}
\]

So sánh \( OK \) và \( MN \):

- \( MN = 4 \text{ cm} \)
- \( OK = 5 \text{ cm} \)

Vì vậy:

\[
OK > MN
\]

**c)** Tính số tia gốc \( O \) vẽ thêm:

- Số góc phân biệt được tạo thành từ điểm \( O \) không bao gồm hai tia \( OX \) và \( OY \) mà chúng ta đã sử dụng.
- Mỗi góc mà không sử dụng hai tia này sẽ tính là một tia mới, do đó:

Với 210 góc phân biệt, ta có:

Tổng số hình thành là 210 góc. Sau khi trừ đi 2 (tia \( OX \) và \( OY \)), ta có:

\[
\text{Số tia gốc thêm} = 210 - 2 = 208
\]

Vậy số tia gốc \( O \) cần vẽ thêm là 208 tia.

**Tóm lại:**
- a) Độ dài đoạn thẳng \( MN \) là 4 cm.
- b) \( OK > MN \) (5 cm > 4 cm).
- c) Số tia gốc \( O \) vẽ thêm là 208 tia.