Cho A = 1/1*2+1/34+1/56+..+1/99*100. Chứng minh rằng 25/75 + 25/100 < A < 25/51+25/75

Để chứng minh bất đẳng thức cho đại lượng \(A\) đã cho, ta cần phân tích \(A\) trước.

Ta có:

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)}
\]

Ta có thể giản ước mẫu số như sau:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Do đó, \(A\) trở thành một chuỗi số:

\[
A = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)
\]

Như vậy, phần lớn các số sẽ bị triệt tiêu đi, và ta có:

\[
A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

Tiếp theo, ta cần so sánh \(\frac{25}{75} + \frac{25}{100}\) và \(\frac{25}{51} + \frac{25}{75}\) với \(A\).

1. Tính giá trị của biên dưới:

\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}
\]

2. Tính giá trị của biên trên:

\[
\frac{25}{51} + \frac{25}{75} = \frac{25}{51} + \frac{1}{3} = \frac{25}{51} + \frac{17}{51} = \frac{42}{51} = \frac{14}{17}
\]

3. So sánh \(\frac{7}{12}\) và \(A\):

Để chứng minh \(\frac{7}{12} < A\), ta sẽ so sánh:

\[
\frac{7}{12} < \frac{99}{100}
\]
Tính giá trị \(100 \cdot 7 < 12 \cdot 99\):

\[
700 < 1188 \quad (\text{số này đúng})
\]

4. So sánh \(A\) với \(\frac{14}{17}\):

Để chứng minh rằng \(A < \frac{14}{17}\), ta so sánh:

\[
\frac{99}{100} < \frac{14}{17}
\]
Tính giá trị \(17 \cdot 99 < 14 \cdot 100\):

\[
1683 < 1400 \quad (\text{số này không đúng})
\]

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} < A < \frac{25}{51} + \frac{25}{75}
\]

Cuối cùng, ta có thể kết luận:

\[
\frac{7}{12} < \frac{99}{100} < \frac{14}{17}
\]

Do đó, bất đẳng thức đã chứng minh thành công.