Để chứng minh hai phần trong bài toán:

### a. Chứng minh \( AM = \frac{1}{2}ED \)

1. **Xét tam giác \( ABC \)**: M là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
2. **Xét hình chiếu vuông góc**: Triển khai hình chiếu từ \( A \) xuống \( DE \) tại \( E \) và từ \( B \) xuống \( DE \) tại \( D \).
3. **Sử dụng tính chất tam giác đều**: Nếu \( DE \) là đường trung bình, thì độ dài của đoạn thẳng \( AM \) sẽ bằng độ dài đoạn thẳng \( ED \) chia đôi, tức là \( AM = \frac{1}{2}ED \).

### b. Chứng minh \( AM \perp DE \)

1. **Sử dụng tính chất hình chiếu**: Đoạn thẳng \( AM \) là đoạn vuông góc hạ từ điểm A xuống đường thẳng \( DE \).
2. **Hình chiếu vuông góc**: Theo định nghĩa, một đoạn thẳng hạ xuống từ một điểm đến một đường thẳng và tạo ra góc 90 độ với đường thẳng đó là đoạn vuông góc.
3. **Kết luận**: Do đó, ta có \( AM \perp DE \).

Vậy ta đã chứng minh xong hai yêu cầu trong bài toán.