Để mở rộng diện tích khu vườn lên gấp đôi mà không cần chặt bỏ các cây nhãn ở bốn góc của cái ao hình vuông, chúng ta có thể thực hiện như sau:

1. **Xác định diện tích ao hiện tại:** Giả sử diện tích của ao là \( S \) và cạnh của ao là \( a \). Do ao hình vuông nên diện tích hiện tại được tính theo công thức:
\[
S = a^2
\]

2. **Tính diện tích cần mở rộng:** Để đạt được diện tích gấp đôi, ta cần mở rộng diện tích lên \( 2S \):
\[
2S = 2a^2
\]

3. **Giữ lại các cây nhãn:** Các cây nhãn quý đang ở bốn góc của ao, vì vậy chúng ta cần giữ vị trí của chúng. Để mở rộng mà không làm ảnh hưởng đến những cây này, ta có thể làm theo các bước sau:

- **Giữ nguyên vị trí ao hiện tại**, nhưng kéo dài các cạnh của ao ra ngoài mà không làm xê dịch các góc.
- **Tăng diện tích bằng cách mở rộng một cách đồng đều:** Một cách phổ biến là mở rộng hình vuông bằng cách thêm một khoảng cách bằng nhau vào cả bốn chiều (trên, dưới, trái, phải).

4. **Tính toán kích thước mới:** Giả sử ta mở rộng mỗi cạnh của ao thêm \( b \) đơn vị. Diện tích mới sẽ là:
\[
(a + 2b)^2 = 2a^2
\]
Giải phương trình này để tìm giá trị \( b \):
\[
a^2 + 4ab + 4b^2 = 2a^2
\]
\[
4ab + 4b^2 = a^2
\]
\[
b(4a + 4b) = a^2
\]

Bằng cách tìm ra giá trị cho \( b \), ta sẽ có được kích thước mới của ao, có thể là một cái ao lớn với diện tích gấp đôi mà không ảnh hưởng đến các cây nhãn ở bốn góc.

Bằng cách này, chủ nhà sẽ có diện tích khu vườn gấp đôi mà vẫn giữ nguyên được các cây nhãn quý ở bốn góc ao.