Để tìm x nguyên sao cho \( 4 + 9x \) chia hết cho \( 3x + 2 \), ta xét điều kiện:

\[
3x + 2 \mid 4 + 9x
\]

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên m sao cho:

\[
4 + 9x = m(3x + 2)
\]

Giải biểu thức này:

\[
4 + 9x = m(3x + 2)
\]
\[
4 + 9x = 3mx + 2m
\]
\[
9x - 3mx = 2m - 4
\]
\[
x(9 - 3m) = 2m - 4
\]

Từ đây, ta có:

\[
x = \frac{2m - 4}{9 - 3m}
\]

Để \( x \) là nguyên, thì \( 2m - 4 \) phải chia hết cho \( 9 - 3m \). Ta thử một số giá trị nguyên cho \( m \):

1. **Khi \( m = 0 \):**
\[
x = \frac{2(0) - 4}{9 - 3(0)} = \frac{-4}{9}
\]
không nguyên.

2. **Khi \( m = 1 \):**
\[
x = \frac{2(1) - 4}{9 - 3(1)} = \frac{2 - 4}{9 - 3} = \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}
\]
không nguyên.

3. **Khi \( m = 2 \):**
\[
x = \frac{2(2) - 4}{9 - 3(2)} = \frac{4 - 4}{9 - 6} = \frac{0}{3} = 0
\]
là nguyên.

4. **Khi \( m = 3 \):**
\[
x = \frac{2(3) - 4}{9 - 3(3)} = \frac{6 - 4}{9 - 9} = \text{undefined}
\]

5. **Khi \( m = 4 \):**
\[
x = \frac{2(4) - 4}{9 - 3(4)} = \frac{8 - 4}{9 - 12} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}
\]
không nguyên.

6. **Khi \( m = 5 \):**
\[
x = \frac{2(5) - 4}{9 - 3(5)} = \frac{10 - 4}{9 - 15} = \frac{6}{-6} = -1
\]
là nguyên.

Từ các kết quả trên, x nguyên thỏa mãn là: \( x = 0 \) và \( x = -1 \).

Chúng ta có thể kiểm tra lại điều kiện ban đầu với các giá trị này:

- Với \( x = 0 \):
\[
4 + 9(0) = 4 \quad \text{và} \quad 3(0) + 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 \mid 4
\]
- Với \( x = -1 \):
\[
4 + 9(-1) = 4 - 9 = -5 \quad \text{và} \quad 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad -1 \mid -5
\]

Kết luận, các giá trị nguyên cần tìm là \( x = 0 \) và \( x = -1 \).