Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
Q = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 30
\]

chúng ta có thể bắt đầu bằng cách xem xét lại biểu thức. Đầu tiên, hãy nhóm lại các hạng tử để dễ xử lý hơn.

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

\[
Q = (x^2 - 2xy + 2y^2) - 2x - 30
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho phần \(x\) và \(y\).

1. **Hoàn thành bình phương**:
Xem xét các hạng tử \(x^2 - 2xy + 2y^2\):

\[
Q = (x^2 - 2xy + y^2) + y^2 - 2x - 30
\]
\[
= (x - y)^2 + y^2 - 2x - 30
\]

2. **Đặt cái mới vào biểu thức**:

Giả sử \(z = x - y\), vậy ta có:

\[
Q = z^2 + y^2 - 2(z + y) - 30
\]
\[
= z^2 + y^2 - 2z - 2y - 30
\]

3. **Tìm giá trị cực trị**:

Để tìm giá trị lớn nhất, ta sẽ đặt đạo hàm riêng theo \(x\) và \(y\) bằng 0.

\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 2y - 2 = 0
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial y} = 4y - 2x = 0
\]

Giải hệ phương trình này:

- Từ phương trình thứ hai, ta có: \(y = \frac{1}{2}x\).
- Thay vào phương trình đầu tiên:

\[
2x - 2(\frac{1}{2}x) - 2= 0 \implies 2x - x - 2 = 0 \implies x = 2.
\]
- Khi \(x = 2\), thay vào \(y = \frac{1}{2}x\) ta có \(y = 1\).

4. **Thay giá trị vào Q**:

Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào biểu thức \(Q\):

\[
Q = 2^2 + 2(1^2) - 2(2)(1) - 2(2) - 30
\]
\[
= 4 + 2 - 4 - 4 - 30 = -32
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(-32\).