Để giải phương trình \( \frac{1}{14} + \frac{1}{35} + \frac{1}{65} + \ldots + \frac{2}{x^2} + 3x = \frac{1}{9} \), trước tiên chúng ta cần phân tích tổng \( \frac{1}{14} + \frac{1}{35} + \frac{1}{65} + \ldots + \frac{2}{x^2} \).

### Phân tích dãy số

Nhìn vào các điều kiện của vấn đề, chúng ta nhận thấy có các số hạn như \( 14, 35, 65 \), và chúng ta cần xác định quy luật của chúng. Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về số lượng hoặc các hệ số khác trong tổng vô hạn.

Ta sẽ coi dãy này có thể tiếp tục cho mãi mãi và ta cần tính tổng này. Đối với một số dãy số phức tạp như vậy, không phải lúc nào cũng có thể xác định được dạng tổng trực tiếp.

### Kết hợp điều kiện
Chúng ta có \( \frac{1}{14} + \frac{1}{35} + \frac{1}{65} + \ldots = S \)

### Giải phương trình

Bây giờ ta cần giải phương trình:
\[ S + \frac{2}{x^2} + 3x = \frac{1}{9} \]

Biến đổi phương trình:
\[ 3x + \frac{2}{x^2} = \frac{1}{9} - S \]
Từ đó ta có thể tìm được giá trị x nếu chúng ta biết được S.

Tuy nhiên, không có đủ thông tin để tính S trong trường hợp này. giả sử là S = 0 thì ta có:
\[ 3x + \frac{2}{x^2} = \frac{1}{9} \]

### Tính toán x (Khi S = 0)

Ta có:
\[ 3x + \frac{2}{x^2} = \frac{1}{9} \]

Nhân cả hai vế với \( 9x^2 \):
\[ 27x^3 + 18 = 1 \]
\[ 27x^3 = -17 \]
\[ x^3 = \frac{-17}{27} \]
\[ x = \sqrt[3]{-\frac{17}{27}} \]
\[ x = -\frac{\sqrt[3]{17}}{3} \]

Dường như có một số điều chưa rõ ràng trong vấn đề này, vì chúng ta cần xác định S để có thể tìm được giá trị chính xác cho x.

### Kết luận

Vì cách tìm đến hệ số S chưa được sóng rõ ràng và thiếu thông tin về dãy này, nhưng nếu S phụ thuộc vào một số giá trị thì ta phải biết được tổng giá trị S để tiếp tục.

Nếu bạn có thêm thông tin về cách tính dãy số S, hãy cung cấp để tôi có thể hỗ trợ tốt hơn trong việc tìm chữ số x.