Để chứng minh rằng tồn tại một lũy thừa của 17 có 4 chữ số tận cùng là 0001, chúng ta có thể sử dụng định lý Dirichlet về bội số của các số nguyên. Trước tiên, ta cần tìm số \( n \) sao cho \( 17^n \equiv 1 \mod 10000 \).

Ta có:
\[ N = 10000 = 10^4 = 2^4 \cdot 5^4. \]

Ta sẽ sử dụng định lý nhỏ Fermat để giải quyết bài toán này.

### Bước 1: Tính chu kỳ modulo 16

**Đối với modulo 16:**
\( 17 \equiv 1 \mod 16 \), vì vậy:
\[ 17^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 16. \]

### Bước 2: Tính chu kỳ modulo 625

**Đối với modulo 625:**
Ta cần tìm thứ tự của 17 modulo 625. Đầu tiên ta xác định \( \phi(625) \):
\[ \phi(625) = 625 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 625 \cdot \frac{4}{5} = 500. \]

Bây giờ ta sẽ kiểm tra các số mũ nhỏ hơn 500 để tìm thứ tự của 17 modulo 625.

Chúng ta cần tính \( 17^k \mod 625 \) cho các giá trị \( k = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, \ldots \) cho đến khi nghiệm \( 17^k \equiv 1 \mod 625 \).

### Bước 3: Xác định số mũ chung

Gọi thứ tự của 17 modulo 16 là 1 và thứ tự của 17 modulo 625 là \( d \). Sau đó, theo định lý Dirichlet, sẽ có một số \( n \) sao cho:
\[ n \equiv 0 \mod 1 \]
\[ n \equiv 0 \mod d \]

Vì vậy, \( n \) là bội chung nhỏ nhất của 1 và \( d \). Giả sử \( d = 500 \), thì \( n = 500 \).

Tổng kết lại, ta có một lũy thừa \( n = 500 \):
\[ 17^{500} \equiv 1 \mod 10000. \]

### Kết luận

Do đó, tồn tại một lũy thừa của 17, cụ thể là \( 17^{500} \), có 4 chữ số tận cùng là 0001.