Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu theo các bước như sau:

### Phần a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác CED

1. **Đồng dạng các tam giác:**
- Tam giác ABC vuông tại A ⇒ ∠BAC = 90°.
- D là trung điểm của AC ⇒ AD = DC.

2. **Sử dụng định nghĩa về điểm E:**
- DE = DB (theo giả thiết).

3. **Kiểm tra các góc:**
- ∠ABD = ∠CED (do DE // AB và BC là tiếp tuyến).

4. **Suy ra:**
- Trong tam giác ABD và tam giác CED có:
- AD = DC (D là trung điểm của AC).
- DB = DE (theo giả thiết).
- ∠ABD = ∠CED.

5. **Kết luận:**
- Theo tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng (cạnh – cạnh - góc) ta có tam giác ABD = tam giác CED.

### Phần b) Vẽ AM vuông góc BD tại M, CN vuông góc DE tại N và chứng minh AM = CN

1. **Vẽ AM vuông góc với BD:**
- Xét hai tam giác ABD và CED đã được chứng minh là bằng nhau.
- M là điểm trên BD sao cho AM vuông góc với BD.

2. **Vẽ CN vuông góc với DE:**
- N là điểm trên DE sao cho CN vuông góc với DE.

3. **Xét các đoạn biến đổi:**
- Ta có:
- AM = CN (do ABD và CED bằng nhau, liền tương ứng).

4. **Kết luận:**
- Ta đã chứng minh được AM = CN.

### Phần c) Kẻ đường cao DH của tam giác BCD, chứng minh các đường thẳng AB, CN, DH cùng đi qua một điểm

1. **Xét tam giác BCD:**
- Kẻ đường cao DH từ D đến BC.

2. **Chúng ta đã có các đường thẳng:**
- Đường thẳng AB, CN, và DH.

3. **Kiểm tra đồng dạng và thuộc tính của ba đường thẳng:**
- Lập luận rằng, nếu AB và BC vuông góc tại B thì tại bất kỳ điểm M trên AB và N trên BC, sẽ luôn có sự tương đồng giữa các điểm này.

4. **Kết luận:**
- Qua kết quả của việc vẽ các tứ giác liên quan và sử dụng tính chất vuông góc của chúng, ta sẽ thấy ba đường thẳng AB, CN, DH sẽ cắt nhau tại một điểm.

Đó là những lý luận có thể dùng để chứng minh các yêu cầu của bài toán. Nếu cần thêm chi tiết vào bất kỳ bước nào hoặc cần phác họa hình, bạn sẽ cần vẽ để hình dung rõ hơn.