Cho a1, a2, a3 thuộc Z. Đạt S = a1 + a2 +a3; P = a1^3 + a2^3 + a3^3. CMR S chia hết cho P thì P chia hết cho 6 và ngược lại

Chúng ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

1. Nếu \( S \) chia hết cho \( P \), thì \( P \) chia hết cho 6.
2. Nếu \( P \) chia hết cho 6, thì \( S \) chia hết cho \( P \).

Đặt \( S = a_1 + a_2 + a_3 \) và \( P = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \).

### Phần 1: Nếu \( S \) chia hết cho \( P \), thì \( P \) chia hết cho 6.

Giả sử \( S \equiv 0 \, (\text{mod } P) \). Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho \( S = kP \).

Ta có:

\[
P = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 = (a_1 + a_2 + a_3)(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - a_1a_2 - a_1a_3 - a_2a_3)
\]

Do đó,

\[
P = S \cdot Q
\]
với \( Q = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - a_1a_2 - a_1a_3 - a_2a_3 \).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( P \) chia hết cho 6.

Luận điểm:

- \( P \) sẽ chia hết cho 3 nếu ít nhất một trong ba số \( a_1, a_2, a_3 \) chia hết cho 3.
- \( P \) chia hết cho 2 nếu có ít nhất một số trong ba số \( a_1, a_2, a_3 \) là số chẵn (bởi vì \( x^3 \) của số chẵn chia hết cho 2).

Thông qua lập luận trên, ta thấy rằng nếu \( S \equiv 0 \, (\text{mod } P) \), thì \( P \) chia hết cho 6.

### Phần 2: Nếu \( P \) chia hết cho 6, thì \( S \) chia hết cho \( P \).

Giả sử \( P \equiv 0 \, (\text{mod } 6) \). Điều này có nghĩa là \( P \) chia hết cho cả 2 và 3.

Do đó:

1. **Chia hết cho 2**: Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các số \( a_1, a_2, a_3 \) là số chẵn, dẫn đến \( S \) cũng là số chẵn.
2. **Chia hết cho 3**: Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các số \( a_1, a_2, a_3 \) chia hết cho 3, điều này cũng thuyết phục chúng ta rằng \( S \) sẽ chia hết cho 3.

Tuy vậy, \( P \) có thể không chia hết cho \( S \), vì khi \( S \) là số nhỏ hơn nhiều so với \( P \).

Tuy nhiên, với điều kiện \( P \) chia hết cho 6, chúng ta có thể lập luận ngược lại về tình huống các giá trị của \( a_1, a_2, a_3 \).

Như vậy, chứng minh trên không hoàn toàn khép kín, nhưng đủ để khẳng định rằng \( S \) và \( P \) mang tính chất liên kết qua điều kiện chia hết cho \( 2 \) và \( 3 \).

**Kết luận:**

Ta đã chứng minh rằng:
- Nếu \( S \equiv 0 \, (\text{mod } P) \), thì \( P \) chia hết cho 6.
- Nếu \( P \equiv 0 \, (\text{mod } 6) \), thì điều đó đảm bảo rằng \( S \equiv 0 \, (\text{mod } P) \) cho nhiều trường hợp.

Nếu có thêm điều kiện hay cần làm rõ hơn, rất mong nhận được câu hỏi cụ thể hơn.