Để tính các giá trị lượng giác còn lại từ \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) với điều kiện \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và các mối quan hệ giữa các hàm lượng giác.

1. **Tính \(\cos \alpha\)**:
Sử dụng định lý Pythagore:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
Thay giá trị của \(\sin \alpha\):
\[
\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
\]
Lấy căn bậc hai của cả hai vế:
\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}
\]
Tuy nhiên, vì \(\alpha\) nằm trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) (góc thứ hai), nên \(\cos \alpha < 0\):
\[
\cos \alpha = -\frac{3}{5}
\]

2. **Tính \(\tan \alpha\)**:
Sử dụng định nghĩa của \(\tan\):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}
\]

3. **Tính \(\cot \alpha\)**:
\(\cot \alpha\) là nghịch đảo của \(\tan\):
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{3}{4}
\]

4. **Tính \(\sec \alpha\)**:
\(\sec \alpha\) là nghịch đảo của \(\cos\):
\[
\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = -\frac{5}{3}
\]

5. **Tính \(\csc \alpha\)**:
\(\csc \alpha\) là nghịch đảo của \(\sin\):
\[
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{5}{4}
\]

6. **Tóm tắt các giá trị lượng giác**:
- \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\)
- \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\)
- \(\tan \alpha = -\frac{4}{3}\)
- \(\cot \alpha = -\frac{3}{4}\)
- \(\sec \alpha = -\frac{5}{3}\)
- \(\csc \alpha = \frac{5}{4}\)

Như vậy, chúng ta đã tính được các giá trị lượng giác còn lại.