Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD

Để chứng minh rằng tứ giác ABIE là hình thang, ta sẽ chỉ ra rằng hai cạnh AB và EI song song với nhau.

**Bước 1: Xét tính chất của đường phân giác AD**

Vì AD là đường phân giác của góc A, nên theo định nghĩa, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.
\]

**Bước 2: Xét tính chất của điểm E**

Điểm E được xác định là giao điểm của đường vuông góc với AD tại D cắt AC. Điều này có nghĩa là DE vuông góc với AD.

**Bước 3: Xét tính chất của điểm I**

Điểm I được chọn sao cho DI = DB. Do đó, 3 điểm B, D, I tạo thành một đoạn thẳng với D ở giữa, nghĩa là:
\[
DI = DB.
\]

**Bước 4: Chứng minh AB // EI**

Xét tam giác ABD, ta có:
- Góc ADB = góc EDI (bởi vì DE vuông góc với AD).
- Đoạn BD là đáy của tam giác ABD.

Do đó, theo định lý các góc đồng vị, ta có:
- Góc ABE = góc EDI.

Từ đó, chúng ta có AD là đường phân giác của góc A, và DE vuông góc với AD nên:
- Cả hai cặp góc (góc ABE và góc EDI) đều bằng nhau.

Vì hai cặp góc này bằng nhau, ta có thể đi đến kết luận rằng:
\[
AB \parallel EI.
\]

**Bước 5: Kết luận**

Vì AB // EI, nên tứ giác ABIE là hình thang.
Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác ABIE là hình thang.