Để xác định các số thực \( m \) và \( n \) trong phương trình

\[
\frac{m}{3} \mathbf{a} - n \mathbf{b} = \frac{1}{2} \mathbf{c}
\]

cho các vector:

\[
\mathbf{a} = (2, -1, 3), \quad \mathbf{b} = (1, -3, 2), \quad \mathbf{c} = (3, 2, -4)
\]

trước tiên, ta thay các vector vào phương trình:

1. Tính \(\frac{1}{2} \mathbf{c}\):

\[
\frac{1}{2} \mathbf{c} = \frac{1}{2} (3, 2, -4) = \left(\frac{3}{2}, 1, -2\right)
\]

2. Ta có phương trình:

\[
\frac{m}{3} \mathbf{a} - n \mathbf{b} = \left(\frac{3}{2}, 1, -2\right)
\]

3. Thay các giá trị của \(\mathbf{a}\) và \(\mathbf{b}\):

\[
\frac{m}{3} (2, -1, 3) - n (1, -3, 2) = \left(\frac{3}{2}, 1, -2\right)
\]

4. Cách tính cho từng tọa độ:

- Tọa độ x:

\[
\frac{2m}{3} - n = \frac{3}{2}
\]

- Tọa độ y:

\[
\frac{-m}{3} + 3n = 1
\]

- Tọa độ z:

\[
\frac{3m}{3} - 2n = -2 \quad \Rightarrow \quad m - 2n = -2
\]

5. Giải hệ phương trình:

Từ phương trình \( m - 2n = -2 \):

\[
m = 2n - 2
\]

Thay vào phương trình tọa độ x:

\[
\frac{2(2n - 2)}{3} - n = \frac{3}{2}
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{4n - 4}{3} - n = \frac{3}{2}
\]
\[
4n - 4 - 3n = \frac{9}{2}
\]
\[
n - 4 = \frac{9}{2}
\]
\[
n = \frac{9}{2} + 4 = \frac{9}{2} + \frac{8}{2} = \frac{17}{2}
\]

Thay \( n \) vào \( m = 2n - 2 \):

\[
m = 2 \cdot \frac{17}{2} - 2 = 17 - 2 = 15
\]

Vậy các số thực \( m \) và \( n \) là:

\[
\boxed{m = 15}, \quad \boxed{n = \frac{17}{2}}
\]