Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0 \\
x + 3y = 6
\end{cases}
\]

Ta phân tích phương trình đầu tiên:

1. \( (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0 \)

Điều này cho ta hai trường hợp:

- **Trường hợp 1**: \( x + 2y + 1 = 0 \)
Từ đó, ta có:
\[
x + 2y = -1 \quad (1)
\]

- **Trường hợp 2**: \( x + 2y + 2 = 0 \)
Từ đó, ta có:
\[
x + 2y = -2 \quad (2)
\]

Giờ ta sẽ giải từng trường hợp với phương trình thứ hai \( x + 3y = 6 \).

### Giải trường hợp 1: \( x + 2y = -1 \)

Từ (1), ta có:
\[
x = -1 - 2y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
-1 - 2y + 3y = 6 \\
y = 7
\]

Thay giá trị của \( y \) vào biểu thức cho \( x \):
\[
x = -1 - 2(7) = -1 - 14 = -15
\]

=> Nghiệm: \( (x, y) = (-15, 7) \)

### Giải trường hợp 2: \( x + 2y = -2 \)

Từ (2), ta có:
\[
x = -2 - 2y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
-2 - 2y + 3y = 6 \\
y = 8
\]

Thay giá trị của \( y \) vào biểu thức cho \( x \):
\[
x = -2 - 2(8) = -2 - 16 = -18
\]

=> Nghiệm: \( (x, y) = (-18, 8) \)

### Kết luận:

Hệ phương trình có hai nghiệm:
1. \( (x, y) = (-15, 7) \)
2. \( (x, y) = (-18, 8) \)