Cho \( f(x) \) là một đa thức bậc hai có dạng:

\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]

Ta có:

\[
f(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c
\]

Khi phát triển biểu thức trên:

\[
f(x-1) = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)
\]

Từ đề bài, ta có:

\[
f(x) - f(x-1) = (ax^2 + bx + c) - \left( ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c) \right)
\]

Giản ước ta có:

\[
f(x) - f(x-1) = (b - (-2a + b))x + (c - (a - b + c)) = (2a)x + (b - a)
\]

Theo đề bài, ta có:

\[
f(x) - f(x-1) = x
\]

So sánh hệ số, ta có:

1. \( 2a = 1 \)
2. \( b - a = 0 \)

Giải hệ phương trình:

Từ \( 2a = 1 \), ta có:

\[
a = \frac{1}{2}
\]

Từ \( b - a = 0 \), cho thấy:

\[
b = a = \frac{1}{2}
\]

Đối với \( c \), vì không có điều kiện gì liên quan đến \( c \), ta có thể chọn \( c = 0 \) (hoặc bất kỳ giá trị nào khác, để đơn giản).

Vậy, đa thức bậc hai tìm được là:

\[
f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x
\]

Và kết quả cuối cùng là:

\[
f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x
\]

Để áp dụng tính tổng \( S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n \), ta có thể áp dụng công thức tổng:

\[
S = \frac{n(n + 1)}{2}
\]