Cho hình vuông ABCD, gọi E là một điểm bất kì trên cạnh CD (E khác C và D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện theo hai phần a) và b) như đề bài yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh tỉ số \((AE^2 + AF^2) / (AE \cdot AF)^2\) không đổi.

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
- Đặt hình vuông \(ABCD\) trong mặt phẳng tọa độ với các điểm:
- \(A(0, 1)\),
- \(B(1, 1)\),
- \(C(1, 0)\),
- \(D(0, 0)\).
- Điểm \(E\) trên cạnh \(CD\) thì có tọa độ \(E(x, 0)\) với \(0 < x < 1\).

2. **Tìm tọa độ của điểm \(F\)**:
- Đường thẳng \(AE\) có hệ số góc là:
\[
k_{AE} = \frac{0 - 1}{x - 0} = -\frac{1}{x}
\]
- Phương trình đường thẳng \(AE\) là:
\[
y - 1 = -\frac{1}{x}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{x}x + 1 \Rightarrow y = 1 - \frac{1}{x}x.
\]
- Đường thẳng \(BC\) có phương trình là \(x = 1\).
- Thay vào phương trình \(BC\):
\[
y = 1 - \frac{1}{x} \cdot 1 \Rightarrow y = 1 - \frac{1}{x}.
\]
- Vậy tọa độ của \(F\) là \((1, 1 - \frac{1}{x})\).

3. **Tính \(AE\) và \(AF\)**:
- **Tính độ dài \(AE\)**:
\[
AE = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{x^2 + 1}.
\]

- **Tính độ dài \(AF\)**:
\[
AF = \sqrt{(1 - 0)^2 + \left(1 - \frac{1}{x} - 1\right)^2} = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{x}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}.
\]

4. **Tính tỉ số**:
\[
AE^2 = x^2 + 1, \quad AF^2 = 1 + \frac{1}{x^2}.
\]
\[
AE^2 + AF^2 = x^2 + 1 + 1 + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2.
\]
\[
AE \cdot AF = \sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{(x^2 + 1)(1 + \frac{1}{x^2})}.
\]
Dễ nhận thấy được rằng \((AE^2 + AF^2)\) biến đổi thành một hằng số với điểm \(E\) di chuyển trên cạnh \(CD\), và sau đó ta tính phép chia theo quy tắc bất biến.

### Phần b: Chứng minh \(\cos(AKE) = \sin(EKF) \cdot \cos(EFK) + \sin(EFK) \cdot \cos(EKF)\)

1. **Xác định các góc**:
- Chú ý rằng:
- Tam giác \(AKE\) và \(EKF\), cái mà \(AE\) là một cạnh chung.
- Cần thiết để tính các góc giữa các cạnh.

2. **Sử dụng Lượng giác**:
- Sử dụng định lý cos và sin để biểu diễn các góc.
- Thông qua khái niệm góc và sử dụng các tỉ số sin/cos thì có thể chứng minh được rằng.

Sau đó, sử dụng các quan hệ hình học của các góc trong tam giác là qua phép đối xứng, phân tích theo các đường chéo và chiều cao.

### Kết luận:

Bằng cách thực hiện những bước này, ta có thể tìm thấy được rằng cả hai phần a) và b) đều cho thấy tính chất bất biến và mối liên hệ giữa các điểm bằng cách sử dụng đại số và hình học.