Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần vẽ hình và đồng thời áp dụng một số kiến thức hình học cơ bản.

### Vẽ hình:

1. Vẽ tam giác vuông \(ABC\) với \( \angle A = 90^\circ \) và \( AB = AC \).
2. Đặt điểm \(D\) trên cạnh \(AB\) và điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(AD = AE\).
3. Kẻ vuông góc từ \(A\) đến \(BE\), cắt \(BC\) tại điểm \(M\).
4. Kẻ vuông góc từ \(D\) đến \(BE\), cắt \(BC\) tại điểm \(N\).
5. Kẻ tia \(ND\) cắt tia \(CA\) tại điểm \(I\).

### Chứng minh:

#### a) Chứng minh tam giác \(AID \cong ABE\)

- Do \(AD = AE\) và \(AB = AC\) (do tam giác là tam giác cân tại \(A\)), ta có \( \angle ADB = \angle AEC\) vì cả hai đều là góc vuông.
- Từ đó, ta có thể ghi nhận rằng:
- \(AD = AE\) (giả thiết đề bài),
- \(AB = AC\) (giả thiết tam giác cân),
- \( \angle AID = \angle ABE = 90^\circ\) (cả hai đều là góc vuông).

- Theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh (c.g.c) trong hình học, ta có tam giác \(AID\) và \(ABE\) bằng nhau, tức là:
\[
\triangle AID \cong \triangle ABE
\]

#### b) Chứng minh \(CM = MN\)

1. Từ tam giác \(AID\) và \(ABE\) đã chứng minh phía trên, có thể suy ra rằng:
- Độ dài \(AM\) là chiều cao từ \(A\) xuống \(BC\) trong tam giác \(ABE\), và \(AN\) là chiều cao từ \(D\) xuống \(BC\).
- Vì \(AD = AE\) nên chiều cao từ \(D\) cũng bằng chiều cao từ \(A\).

2. Ta chú ý đến các góc vuông mà chúng ta đã thiết lập:
- \(AM \perp BE\) và \(DN \perp BE\), từ đó dẫn đến:
- Tam giác \(ABM\) và tam giác \(DAN\) đều vuông tại \(M\) và \(N\).

3. Đặc biệt, do \(AD = AE\) và hai cạnh \(AB\) và \(AC\) bằng nhau, \(M\) và \(N\) sẽ có độ dài bằng nhau vì vậy:
\[
CM = MN
\]

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được hai yêu cầu:
- a) Tam giác \(AID \cong ABE\).
- b) \(CM = MN\).

Hy vọng các bước chứng minh cùng với hình ảnh minh họa (hình này bạn có thể vẽ dựa trên mô tả) giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.