Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các biến để đại diện cho các thông số cần thiết.

Gọi:
- \( n \) là số ngày dự định hoàn thành kế hoạch.
- \( x \) là số tấn cá mà xí nghiệp dự định đánh bắt mỗi ngày.

Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Tổng lượng cá xí nghiệp dự định đánh bắt là \( 145 \) tấn, nên ta có:
\[
n \cdot x = 145
\]

2. Thực tế, mỗi ngày xí nghiệp đã đánh bắt được \( x + 1 \) tấn cá, và họ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn \( 4 \) ngày, tức là họ đã hoàn thành trong \( n - 4 \) ngày. Thời gian hoàn thành là:
\[
(n - 4)(x + 1) = 145 + 5 = 150
\]

Bây giờ, ta có 2 phương trình:
1. \( n \cdot x = 145 \) (1)
2. \( (n - 4)(x + 1) = 150 \) (2)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( x \) dưới dạng \( n \):
\[
x = \frac{145}{n}
\]

Thay \( x \) vào phương trình (2):
\[
(n - 4)\left(\frac{145}{n} + 1\right) = 150
\]

Tiến hành giải phương trình trên:
\[
(n - 4)\left(\frac{145}{n} + 1\right) = (n - 4)\left(\frac{145 + n}{n}\right) = 150
\]
\[
(n - 4)(145 + n) = 150n
\]

Mở rộng biểu thức:
\[
145n - 580 + n^2 - 4n = 150n
\]
\[
n^2 - 9n - 580 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
n = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-580)}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 2320}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{9 \pm 49}{2}
\]

Tính toán ra hai nghiệm:
1. \( n = \frac{58}{2} = 29 \)
2. \( n = \frac{-40}{2} = -20 \) (không hợp lệ vì thời gian không thể âm)

Vậy số ngày dự định hoàn thành kế hoạch là \( n = 29 \).

**Đáp án:** Thời gian dự định hoàn thành kế hoạch là 29 ngày.