Bài tập này yêu cầu chúng ta chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến tam giác vuông và các hình chiếu. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cho từng yêu cầu:

### a) Chứng minh các góc đồng dạng:
1. **Tam giác BDM và BCA**:
- Xét góc BDM và góc BCA: góc DMB = góc ACB (cùng bằng 90 độ).
- Góc DBM = góc CAB (cùng ở vị trí tương đương).
- Do đó, tam giác BDM ~ BCA.

2. **Tam giác CDN và CBA**:
- Góc CDN và góc CBA: góc DNC = góc ABC (cùng bằng 90 độ).
- Góc DNC = góc ACB (cùng ở vị trí tương đương).
- Vậy tam giác CDN ~ CBA.

### b) Tìm độ dài BM:
- Theo đề bài, cho AB = 3 cm, AC = 4 cm và DB = 3 cm.
- Sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ cm}.
\]
- Ta có D nằm trên BC, cách B 3 cm, tức là đoạn DC = BC - DB = 5 - 3 = 2 cm.
- Áp dụng định lý Thales để xác định tỉ lệ:
\[
\frac{BM}{AB} = \frac{DB}{BC} \implies BM = \frac{AB \cdot DB}{BC} = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5} \text{ cm}.
\]

### c) Chứng minh BM · CN = DM · DN:
- Sử dụng tính chất hình chiếu trong tam giác vuông:
- BM và DN là các hình chiếu của đoạn thẳng DB.
- Áp dụng định lý hình chiếu, ta có:
\[
BM \times CN = DB \times CN,
\]
- Vì D nằm giữa B và C, nên ta có đoạn thẳng:
- \( CN = DC \) và \( DM = DE \).
- Suy ra BM · CN = DM · DN.

Từ đó, các yêu cầu của bài tập được chứng minh đầy đủ.