Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = \left| \frac{4}{3} x - \frac{1}{4} \right| - \frac{2}{11},
\]

ta cần xét điều kiện của hàm số bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

1. **Tìm giá trị của \( \frac{4}{3} x - \frac{1}{4} \)**:
- Đặt \( y = \frac{4}{3} x - \frac{1}{4} \).
- Ta giải phương trình \( y = 0 \) để tìm điểm cố định:
\[
\frac{4}{3} x - \frac{1}{4} = 0 \implies \frac{4}{3} x = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}.
\]

2. **Hàm số \( A \)**:
- Khi \( x = \frac{3}{16} \), tức là \( y = 0 \), ta có:
\[
A = |0| - \frac{2}{11} = -\frac{2}{11}.
\]

3. **Xét giá trị của \( A \) cho các giá trị \( x \)**:
- Khi \( y > 0 \):
\[
A = \frac{4}{3} x - \frac{1}{4} - \frac{2}{11}.
\]
- Khi \( y < 0 \):
\[
A = -\left(\frac{4}{3} x - \frac{1}{4}\right) - \frac{2}{11} = -\frac{4}{3} x + \frac{1}{4} - \frac{2}{11}.
\]

4. **Tìm giá trị lớn nhất của \( A \)**:
- Vì \( |y| \) không thể nhỏ hơn 0 và \(-\frac{2}{11}\) là giá trị thấp nhất ta tìm được.

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{-\frac{2}{11}}.
\]