Để chứng minh rằng \( A < 1 \), trước tiên chúng ta cần xác định giá trị của biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{10^2}
\]

Chúng ta sẽ tính từng thành phần trong biểu thức và cộng lại.

1. Tính từng phần:

\[
\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25
\]
\[
\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0.1111
\]
\[
\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0.0625
\]
\[
\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04
\]
\[
\frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \approx 0.0278
\]
\[
\frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \approx 0.0204
\]
\[
\frac{1}{8^2} = \frac{1}{64} = 0.015625
\]
\[
\frac{1}{9^2} = \frac{1}{81} \approx 0.0123457
\]
\[
\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01
\]

2. Cộng các giá trị này lại:

\[
A \approx 0.25 + 0.1111 + 0.0625 + 0.04 + 0.0278 + 0.0204 + 0.015625 + 0.0123457 + 0.01
\]

3. Thực hiện cộng dồn:

- Cộng các giá trị đầu tiên:
\[
0.25 + 0.1111 \approx 0.3611
\]
\[
0.3611 + 0.0625 \approx 0.4236
\]
\[
0.4236 + 0.04 \approx 0.4636
\]
\[
0.4636 + 0.0278 \approx 0.4914
\]
\[
0.4914 + 0.0204 \approx 0.5118
\]
\[
0.5118 + 0.015625 \approx 0.527425
\]
\[
0.527425 + 0.0123457 \approx 0.5397707
\]
\[
0.5397707 + 0.01 \approx 0.5497707
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng \( A \) tính được xấp xỉ \( 0.55 \).

Rõ ràng, từ việc cộng các giá trị trên, ta thấy rằng:

\[
A < 1
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \( A < 1 \).