Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ hai đường phân giác BM, CK của góc B, C cắt nhau tại O ( M thuộc AC, K thuộc AB) . Chứng minh:

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt sử dụng một số tính chất của tam giác, các đường phân giác và các định lý liên quan đến tam giác.

### a) Chứng minh tam giác AMK và MK // BC

1. **Do tam giác ABC cân tại A** nên \( AB = AC \).
2. **BM** và **CK** là hai đường phân giác của góc B và góc C, theo tính chất của các đường phân giác, ta có:
- Góc BMO = góc KMO (do BM là phân giác góc B)
- Góc CMK = góc BKM (do CK là phân giác góc C)
3. Khi đó, tổng các góc:
\[
\text{góc AMK} = \text{góc BMO} + \text{góc CMK} = \text{góc B} + \text{góc C} = 180^\circ - \text{góc A}
\]
4. Vì \( \triangle AMK \) và \( BC \) đều nằm trong tam giác \( ABC \) và góc \( AMK \) bằng góc \( A \), nên \( AMK \parallel BC \).

### b) Chứng minh BK = MK = MC

1. Theo tính chất phân giác, tỉ số các cạnh đối diện với các góc cũng bằng tỉ số các đoạn thẳng trên hai cạnh:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \, và \, \frac{AB}{AC} = \frac{BK}{AK}
\]
2. Vì \( AB = AC \), ta suy ra \( BM = MC \) và \( BK = AK \).
3. Gọi \( BK = MK = MC = x \) (do tính chất đồng dạng và phân giác), ta có \( BK = MK = MC \).

### c) Chứng minh AO là đường trung trực của MK và BC

1. Do \( AM \parallel BC \) và \( O \) nằm trên đường phân giác, ta có \( AO \) chia góc A thành 2 góc bằng nhau, từ tính chất phân giác trong tam giác.
2. Ta đã chứng minh rằng \( BK = MK = MC \). Do đó, \( O \) là điểm trung điểm của cả đoạn \( MK \) và do hai đoạn \( BK \) và \( MC \) hoàn toàn bằng nhau, từ đó \( AO \) chính là đường trung trực đi qua điểm O và vuông góc với MK và BC.

### d) Giả sử \( A = 50^\circ \) tính góc BKM

1. Trong tam giác \( ABC \), ta có tổng các góc bằng 180 độ:
\[
\text{góc B} + \text{góc C} + \text{góc A} = 180^\circ
\]
2. Vì tam giác này là cân tại A:
\[
2\text{góc B} + 50^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\text{góc B} = 130^\circ \Rightarrow \text{góc B} = 65^\circ
\]
3. Giả sử \( O \) là giao điểm của BM và CK, ta có:
\[
\text{góc BKM} = \text{góc B} - \text{góc BMO} = 65^\circ - \frac{1}{2} \cdot \text{góc B}
\]
4. Tính toán:
\[
\text{góc BKM} = 65^\circ - 32.5^\circ = 32.5^\circ
\]
5. Do đó, kết luận:
\[
\text{góc BKM} = 32.5^\circ
\]

Như vậy, đã hoàn thành các bước chứng minh và tính toán trong bài toán.