Để tính độ dài đoạn BH trong tam giác vuông ABC với A là góc vuông, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và định lý về hình chiếu.

Gọi độ dài các cạnh như sau:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a = 25 \) cm
- \( AH = h = 12 \) cm

Theo định lý về độ dài đường cao của tam giác vuông, ta có:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Thay vào công thức, ta có:

\[
12 = \frac{c \cdot b}{25}
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
c \cdot b = 12 \cdot 25 = 300
\]

Chúng ta cũng có công thức liên quan giữa các cạnh trong tam giác vuông:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Tức là:

\[
c^2 + b^2 = 25^2 = 625
\]

Bây giờ chúng ta có hệ hệ phương trình:

1. \( c \cdot b = 300 \)
2. \( c^2 + b^2 = 625 \)

Từ phương trình 1, ta có thể biểu diễn \( b \) theo \( c \):

\[
b = \frac{300}{c}
\]

Thay vào phương trình 2:

\[
c^2 + \left( \frac{300}{c} \right)^2 = 625
\]

Giải phương trình này:

\[
c^2 + \frac{90000}{c^2} = 625
\]

Nhân cả hai vế với \( c^2 \):

\[
c^4 - 625c^2 + 90000 = 0
\]

Đặt \( x = c^2 \), ta có phương trình bậc 2:

\[
x^2 - 625x + 90000 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{625 \pm \sqrt{625^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90000}}{2 \cdot 1}
\]

Tính nghiệm:

\[
625^2 = 390625
\]
\[
4 \cdot 90000 = 360000
\]
\[
625^2 - 4 \cdot 90000 = 390625 - 360000 = 30625
\]
\[
\sqrt{30625} = 175
\]

Vậy nghiệm là:

\[
x = \frac{625 \pm 175}{2}
\]

Tính hai nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{800}{2} = 400 \)
2. \( x_2 = \frac{450}{2} = 225 \)

Do đó:

1. \( c^2 = 400 \Rightarrow c = 20 \)
2. \( b^2 = 225 \Rightarrow b = 15 \)

Bây giờ chúng ta có \( AB = c = 20 \) cm và \( AC = b = 15 \) cm.

Đoạn BH sẽ được tính bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác nhỏ BAH:

\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]

Hay:

\[
12^2 + BH^2 = 20^2
\]

Tính toán:

\[
144 + BH^2 = 400
\]
\[
BH^2 = 400 - 144 = 256
\]
\[
BH = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài đoạn BH là **16 cm**.