Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH, trung tuyến BD cắt nhau tại T. Kẻ AK⊥ BD; HI ⊥ AB

Để giải quyết bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC và các điểm A, B, C, H, D, K, T, E, bạn có thể thực hiện từng bước theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( DA \cdot DC = DK \cdot DB \)

**Giải:**
- Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông. Theo định lý này, ta có \( AH^2 = AB \cdot AC \).
- Xét Nửa tam giác ABD và ACD để có thể ra được tỉ số \( DA \cdot DC = DK \cdot DB \).

### b) Chứng minh góc \( BKH = \angle DCB; \angle DCK = \angle DBC \)

**Giải:**
- Xét tam giác BKD và BCD: từ các góc phụ ở điểm K, ta có thể dùng tính chất của góc phụ để chứng minh.

### c) Chứng minh \( HK \cdot HA = HI \cdot AK \)

**Giải:**
- Sử dụng định lý Thales hoặc tính chất của đường cao cho tam giác vuông.

### d) Kéo dài AK tại Q. Tia HQ cắt AC tại E. Chứng minh \( AE = ED \)

**Giải:**
- Sử dụng định lý tỉ lệ trong tam giác hoặc tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.

Mỗi phần yêu cầu sẽ cần có sự hỗ trợ của hình vẽ để thấy các mối quan hệ đo đạc rõ ràng hơn. Đừng quên kiểm tra tính chính xác của các chứng minh và sử dụng các tính chất của hình học Euclid trong từng bước của giải.