Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách rõ ràng.

### a) DEBF là hình gì? Vì sao?

Để chứng minh DEBF là hình gì, ta sẽ xem xét từng đoạn thẳng và tính chất của chúng:

- **E là trung điểm của AB** và **F là trung điểm của CD**, điều này cho thấy đoạn thẳng EF là một đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh song song AB và CD.

- Trong hình bình hành, hai cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó, EF cũng là đoạn thẳng song song với hai cạnh đối diện (có cả AB và CD).

Từ những nhận định trên, chúng ta có thể khẳng định rằng DEBF là **hình thoi** hoặc **hình bình hành** (trong trường hợp đặc biệt), vì EF song song với DE và BF, và EF còn bằng DE nếu DE với DF bằng nhau. Do đó, DEBF là hình bình hành.

### b) Chứng minh BD, AC, EF đồng quy

Để chứng minh BD, AC, EF đồng quy, ta cần xét các tam giác và tỷ lệ phần tử.

1. **Tam giác AEF** và **tam giác CDE**: Vì E và F là trung điểm nên \( AE = EB \) và \( CF = FD \).

2. Từ câu a, biết rằng EF song song với BD và AC, ta apply định lý đồng quy của hình bình hành.

Vì EF là đường trung bình giữa hai cạnh AB và CD, cho nên theo định lý người đối chiếu (hay đồng quy), ta được rằng BD, AC, và EF đồng quy tại một điểm.

### c) Chứng minh EMFN là hình bình hành

Để chứng minh EMFN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song hoặc các góc đối diện bằng nhau.

1. **EM song song với FN**: Do EF là đường trung bình, cho nên EM song song với FN.

2. **MF song song với EN**: Tương tự, với các đoạn thẳng một bên là đường trung bình nên nó cũng xác nhận rằng MF song song với EN.

Từ đây chúng ta có :

- EM = NF
- MF = EN

Vì vậy, EMFN tạo thành một hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau).

Tổng kết lại, câu a là hình bình hành, câu b chứng minh các đường thẳng đồng quy, và câu c khẳng định EMFN là hình bình hành.