Để chứng minh kết luận của bài toán, ta sẽ sử dụng những giả thiết đã cho:

Giả thiết:
- Tam giác \( \triangle IEF \) là cân tại đỉnh \( A \).
- \( IA \) là trung tuyến.

Kết luận cần chứng minh:
- \( IA \) là phân giác của \( \angleEIF \).
- \( IA \) là đường cao của \( \triangle IEF \).

### Chứng minh:

1. **Chứng minh \( IA \) là phân giác của \( \angle EIF \)**:
- Vì tam giác \( \triangle IEF \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( IE = IF \).
- Theo định lý phân giác: Nếu một đường thẳng chia một góc trong thành hai góc bằng nhau thì nó cũng là trung tuyến của cạnh đối diện.
- Do đó, \( IA \) chia \( \angle EIF \) thành hai góc bằng nhau.

2. **Chứng minh \( IA \) là đường cao**:
- Để chứng minh \( IA \) là đường cao, ta cần chứng minh rằng \( IA \) vuông góc với \( EF \).
- Từ kết quả ở trên, ta có \( EI = IF \) và \( \angle EAI = \angle FAI \).
- Trong tam giác cân \( \triangle IEF \), trung tuyến từ đỉnh đến cạnh đáy cũng là đường cao.
- Vậy \( IA \) vuông góc với \( EF \).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng \( IA \) không chỉ là phân giác của góc \( EIF \) mà còn là đường cao của tam giác \( IEF \).