Để giải bài toán đã cho, ta cần phân tích và giải bất phương trình:

\[
\left( \frac{2x + 1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x^3} - 1} \cdot \frac{1 + \sqrt[3]{x^3}}{1 + \sqrt{x}} \right) \leq 0
\]

### Bước 1: Xác định điều kiện
Xét các điều kiện đã cho:
- \( x \geq 0 \)
- \( x \neq 1 \)

### Bước 2: Phân tích các phần tử trong biểu thức

#### 2.1: Tử số \( 2x + 1 - \sqrt{x} \)
- Khi \( x = 0 \): \( 2(0) + 1 - \sqrt{0} = 1 > 0 \)
- Khi \( x = 1 \): \( 2(1) + 1 - \sqrt{1} = 2 > 0 \)
- Khi \( x > 1 \): \( 2x + 1 - \sqrt{x} \) luôn dương (bởi xe lớn hơn \(\sqrt{x}\) với \(x \geq 1\)).

Xem xét khi \(0 < x < 1\): tại đây, \( \sqrt{x} < x \) dẫn đến \(2x + 1 - \sqrt{x} > 0\).

=> Tử số luôn dương.

#### 2.2: Mẫu số \( \sqrt{x^3} - 1 \)
- Khi \(x = 1\): \( \sqrt{1^3} - 1 = 0\) (không được xét)
- Khi \( x < 1 \): \( \sqrt{x^3} - 1 < 0\).
- Khi \( x > 1 \): \( \sqrt{x^3} - 1 > 0\).

Tóm lại:
- Khi \(0 < x < 1\): mẫu số âm.
- Khi \(x = 1\): không xét.
- Khi \(x > 1\): mẫu số dương.

#### 2.3: Phần thứ hai \( \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + \sqrt{x}} \)
Cả tử và mẫu đều dương khi \(x \geq 0\).

### Bước 3: Xác định dấu của biểu thức

Kết hợp các phân tích:
1. Khi \(0 < x < 1\):
- \( \frac{2x + 1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x^3} - 1} > 0\)
- \( \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + \sqrt{x}} > 0\)
- => Tích là dương.

2. Khi \(x > 1\):
- \( \frac{2x + 1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x^3} - 1} > 0\)
- \( \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + \sqrt{x}} > 0\)
- => Tích là dương.

### Kết luận
Ta thấy rằng biểu thức chỉ không âm trong trường hợp \( x > 1 \), còn khi \( 0 < x < 1 \) thì biểu thức dương. Bởi vậy:

\[
\text{Giá trị } x \text{ cần tìm là } x < 1.
\]

Vì mẫu số không được bằng 0, các giá trị cho \( x \) thoả mãn sẽ là:

\[
x \in [0, 1) \text{ hoặc } x > 1.
\]

Kết quả: \( x \leq 1 \) và \( x \neq 1 \) tức là tất cả các giá trị \( 0 \leq x < 1 \) thỏa mãn điều kiện.