Để chứng minh trong hình thang cân ABCD có AB song song với CD, với AB < CD, thì AD = BC, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang cân và một số định lý cơ bản.

1. **Định nghĩa hình thang cân**: Hình thang cân là hình thang mà hai cạnh bên (AD và BC) bằng nhau.

2. **Giả thiết**: Cho hình thang ABCD, với AB || CD và AB < CD.

3. **Chứng minh**:
- Vẽ đường cao từ điểm A tới đường thẳng CD, gọi điểm hạ xuống là E.
- Tương tự, vẽ đường cao từ điểm B tới đường thẳng CD, gọi điểm hạ xuống là F.

Từ đó, ta có:
- AE vuông góc với CD.
- BF vuông góc với CD.
- Do đó, ta có hai tam giác vuông: tam giác ABE và tam giác BCF.

4. **Tính chất của hình thang**: Với AB || CD, hai đường thẳng này có những tính chất như tương đồng (giống nhau về hình dạng) và tính đối xứng của hình thang cân.

5. **Sử dụng đồng dạng**:
- Ta có: AB < CD ⇒ AE + BF < CD.
- Theo định nghĩa hình thang cân, AD và BC là hai cạnh bên của hình thang cân, vì vậy AD = BC.

6. **Kết luận**:
- Vì AD và BC là hai cạnh bên của hình thang cân ABCD và chúng ta đã đặt điều kiện về sự song song cũng như các tính chất hình học liên quan, ta có thể kết luận rằng AD = BC.

Như vậy, từ các lý luận trên, ta đã chứng minh được rằng trong hình thang cân ABCD, nếu AB song song với CD và AB < CD thì AD = BC.