Để tìm \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho \( 3n \) chia hết cho \( n-1 \), chúng ta có thể bắt đầu bằng cách viết điều kiện chia hết này dưới dạng phương trình.

Điều kiện \( 3n \) chia hết cho \( n-1 \) có thể được viết là:
\[
3n = k(n - 1)
\]
với \( k \) là một số nguyên.

Ta có:
\[
3n = kn - k
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
3n - kn = -k
\]
hay:
\[
n(3 - k) = -k
\]
từ đó dẫn đến:
\[
n = \frac{-k}{3 - k}
\]

Vì \( n \) phải thuộc \( \mathbb{N} \), nên \(-k\) phải chia hết cho \( 3 - k \), tức là \( 3 - k \) phải là ước của \(-k\).

Điều kiện này chỉ xảy ra khi \( k \) là một số nguyên dương. Vì \( 3 - k \) phải dương, suy ra \( k < 3 \). Ta có thể thử các giá trị của \( k \):

1. **Khi \( k = 1 \):**
\[
n = \frac{-1}{3 - 1} = \frac{-1}{2} \quad (không phải \mathbb{N})
\]

2. **Khi \( k = 2 \):**
\[
n = \frac{-2}{3 - 2} = -2 \quad (không phải \mathbb{N})
\]

Rõ ràng \( k \) không thể dương hơn 3, và các giá trị dương khác cũng không cho kết quả là số nguyên dương. Như vậy, để đảm bảo \( n \) là số tự nhiên, chúng ta có thể cũng xem xét dữ liệu dưới dạng:
\[
3n \equiv 0 \mod (n-1)
\]

Cho \( n - 1 = m \) (với \( m > 0 \)), tức là \( n = m + 1 \). Khi đó, ta có:
\[
3(m + 1) \equiv 0 \mod m \implies 3m + 3 \equiv 0 \mod m
\]
Điều này luôn đúng vì \( 3m \) là bội số của \( m \).

Vậy, chúng ta cần kiểm tra lại với điều kiện \( n = m + 1 \):
\[
3n = 3(m + 1) = 3m + 3
\]

Vì \( 3m + 3 = k(m) \) cho giá trị tự nhiên \( k \). Ta có tính nhất quán khi \( m \) chấp nhận giá trị bất kỳ >0. Do vậy:

- **Kết luận cuối cùng**: Tất cả các giá trị \( n \) mà \( n - 1 \) chia hết cho 3, tức là \( n - 1 = 3k \) cho \( k \in \mathbb{N} \) là giá trị thỏa điều kiện. Hay:
\[
n = 3k + 1 \quad với \quad k \in \mathbb{N}
\]

Ví dụ: Một vài giá trị của \( n \) là \( 1, 4, 7, 10, ...\)

Do đó:
\[
n = 3k + 1 \text{ với } k \in \mathbb{N}
\] chính là tất cả các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài.