Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\sqrt{\frac{3a^2 + 1}{3a^2 + 1}} + \sqrt{\frac{3b^2 + 1}{3b^2 + 1}} + \sqrt{\frac{3c^2 + 1}{3c^2 + 1}} \leq \frac{7}{2}
\]

với điều kiện \(a + b + c = 1\) và \(a, b, c \geq 0\), ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức nổi tiếng như Cauchy-Schwarz hoặc Jensen.

### Bước 1: Sử dụng Cauchy-Schwarz

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong trường hợp này. Đặt \(x = \sqrt{3a^2 + 1}\), \(y = \sqrt{3b^2 + 1}\), và \(z = \sqrt{3c^2 + 1}\). Khi đó theo Cauchy-Schwarz:

\[
(x + y + z)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)((\frac{3a^2 + 1}{3a^2 + 1}) + (\frac{3b^2 + 1}{3b^2 + 1}) + (\frac{3c^2 + 1}{3c^2 + 1}))
\]

### Bước 2: Tìm giá trị giới hạn

Tính tổng bên phải và chia thành các phần riêng biệt:

\[
\sqrt{\frac{3a^2 + 1}{3a^2 + 1}} + \sqrt{\frac{3b^2 + 1}{3b^2 + 1}} + \sqrt{\frac{3c^2 + 1}{3c^2 + 1}} \leq \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2) + 3}
\]

### Bước 3: Sử dụng điều kiện

Theo điều kiện \(a + b + c = 1\), từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3} = \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}
\]

### Bước 4: Kết luận

Khi thay thế vào biểu thức bên trái và dùng tính chất số dương của các số \(a, b, c\), ta có thể kết luận rằng:

\[
\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{1}{3}} \leq \frac{7}{2}
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.

### Dấu hiệu xảy ra

Khi ba số \(a, b, c\) đồng đều (tức \(a = b = c = \frac{1}{3}\)), ta có thể kiểm tra lại để đảm bảo rằng dấu "=" xảy ra.