Để giải phương trình

\[
\sqrt{2x^2 + 6x + 1} = x + 2,
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Bình phương hai vế** để loại bỏ căn bậc hai:

\[
2x^2 + 6x + 1 = (x + 2)^2.
\]

2. **Mở rộng biểu thức bên phải**:

\[
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4.
\]

3. **Thay thế vào phương trình**:

\[
2x^2 + 6x + 1 = x^2 + 4x + 4.
\]

4. **Chuyển tất cả biểu thức sang một phía**:

\[
2x^2 + 6x + 1 - x^2 - 4x - 4 = 0.
\]

5. **Rút gọn**:

\[
x^2 + 2x - 3 = 0.
\]

6. **Giải phương trình bậc hai** bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}}{2} = \frac{{-2 \pm \sqrt{16}}}{2} = \frac{{-2 \pm 4}}{2}.
\]

7. **Tính các nghiệm**:

\[
x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3.
\]

8. **Kiểm tra nghiệm**:

- Với \( x = 1 \):

\[
\sqrt{2(1^2) + 6(1) + 1} = \sqrt{2 + 6 + 1} = \sqrt{9} = 3,
\]
và \( 1 + 2 = 3 \) ⇒ nghiệm đúng.

- Với \( x = -3 \):

\[
\sqrt{2(-3)^2 + 6(-3) + 1} = \sqrt{18 - 18 + 1} = \sqrt{1} = 1,
\]
và \( -3 + 2 = -1 \) ⇒ nghiệm này không đúng.

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là

\[
\boxed{1}.
\]