Để giải bài này, ta sẽ làm theo từng phần một.

### a) Tìm điều kiện để \( M \) có nghĩa

\( M \) được cho bởi:

\[
M = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}
\]

1. **Nhìn vào từng mẫu:**
- \( x - \sqrt{x} \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq \sqrt{x} \Rightarrow x \neq 0 \text{ và } x \neq 1\)
- \( x + \sqrt{x} \neq 0\) (luôn đúng với \( x \geq 0\))

2. **Căn bậc hai**, yêu cầu:
- \( x \geq 0 \)

**Kết hợp các điều kiện:**
- \( x \geq 0 \)
- \( x \neq 0 \)
- \( x \neq 1 \)

Do đó, điều kiện là: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \).

### b) Rút gọn \( M \) (với điều kiện có nghĩa)

Ta có:

\[
M = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}
\]

Để rút gọn, ta sẽ tìm mẫu chung là \( (x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x}) = x^2 - x \)

1. **Sử dụng mẫu chung để rút gọn:**
\[
M = \frac{(x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x}) + (x\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x})}{(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})}
\]

Tiến hành khai triển và rút gọn các biểu thức trong tử số:

- Tính \( (x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x})\)
- Tính \( (x\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x})\)

Sau khi rút gọn xong, sẽ có một biểu thức đơn giản hơn.

### c) Tìm tất cả các giá trị của \( x \) để \( M = N \)

Để tìm \( x \), ta so sánh \( M \) và \( N \):
\[
N = \frac{1}{18} \left( 6x + \frac{6}{x} + x^3 + \frac{1}{x} \right)
\]

Dựa vào biểu thức \( M \) đã rút gọn ở phần b), hãy đặt biểu thức \( M \) bằng \( N \) và giải phương trình.

### Tổng kết

Sau khi hoàn thành các bước trên, bạn sẽ có được các điều kiện cho \( M \) có nghĩa, biểu thức rút gọn cho \( M \) và các giá trị của \( x \) cho \( M = N \).