Để chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng, ta sử dụng điều kiện đồng phẳng của các vectơ trong mặt phẳng.

1. **Dữ kiện đã cho**:
- \(\vec{MB} - 3\vec{MC} = \vec{0}\) \(\Rightarrow \vec{MB} = 3\vec{MC}\)
- \(\vec{AN} = 3\vec{NC}\)
- \(\vec{PA} + \vec{PB} = \vec{0}\) \(\Rightarrow \vec{PA} = -\vec{PB}\)

2. **Biểu diễn các vectơ**:
Từ dữ kiện đầu tiên, ta có \(\vec{MB} = 3\vec{MC}\) có thể hiểu rằng điểm M chia đoạn thẳng BC theo tỉ lệ 3:1.

Dựa vào dữ kiện thứ hai, \(\vec{AN} = 3\vec{NC}\) có nghĩa là điểm N là điểm chia đoạn AC theo tỉ lệ 3:1.

Cuối cùng, từ điều kiện thứ ba \(\vec{PA} = -\vec{PB}\), có thể hiểu rằng P nằm trên đường nối A và B, và xa A một khoảng bằng xa B.

3. **Sử dụng tỉ lệ để chứng minh**:
Giả sử \(\vec{C}\) ở gốc toạ độ.

- Gọi \(\vec{A} = \vec{A}\), \(\vec{B} = \vec{B}\), \(\vec{C} = \vec{C}\).
- Từ đây, ta có thể viết:
- \(\vec{M} = \frac{3}{4}\vec{B} + \frac{1}{4}\vec{C}\) (do chia BC theo tỉ lệ 3:1)
- \(\vec{N} = \frac{1}{4}\vec{A} + \frac{3}{4}\vec{C}\) (do chia AC theo tỉ lệ 3:1)
- \(\vec{P} = k\vec{A} + (1-k)\vec{B}\) với \(k\) là một hằng số nào đó

4. **Chứng minh đồng phẳng**:
Các điểm M, N, P sẽ thuộc cùng một đường thẳng nếu tồn tại một hằng số \(\lambda\) sao cho:
\[\vec{P} = \lambda \vec{M} + (1-\lambda) \vec{N}\]

Nếu các hệ số tỉ lệ thích hợp thỏa mãn điều kiện, ta có thể kết luận rằng M, N, P thẳng hàng.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng điểm M, N, P thẳng hàng.