- Phần thuận:

Xét hai tam giác vuông ∆BFC, ∆DCE có

BC = CD (do ABCD là hình vuông)

CE = CF (gt) nên ∆BFC=∆DCE

Do đó, CBF^=CDE^

Mà BEM^=CED^ (đối đỉnh) nên

900=CDE^+CED^=CBF^+BEM^⇒BMD^=900

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính BD.

- Giới hạn:

+ Nếu E≡B⇒M≡B

+ Nếu E≡C⇒M≡C

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung nhỏ BC⏜ của đường tròn đường kính BD.

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung nhỏ BC⏜ của đường tròn đường kính BD. Nối MB, MD lần lượt cắt CD, BC tại F, E

Ta có BMD^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên ∆BFC=∆DCE g.c.g do đó CF = CE.

- Kết luận: quỹ tích điểm M nằm trên cung nhỏ BC⏜ của đường tròn đường kính BD.